Einleitung
Eine kurze Lösung des Würfelproblems
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Einleitung


Als ich noch ein junger Mensch war, war ich vom Würfelfieber gepackt. Natürlich lernte ich die damals gängigen Systeme zum Ordnen des Puzzles und später begriff ich, dass ich dank dieses genialen Spielzeugs in die fantastische Welt der Gruppentheorie eingewiesen war. Viele Jahre lang habe ich dann leider den Würfel aus den Augen verloren. Jetzt ist er wieder da, denn nun sind meine Kinder mit dem Würfelfieber infiziert.

Ich musste zunächst feststellen, dass ich das meiste von damals verlernt habe und nicht mehr in der Lage war, das Problem "nach Rezept" aus dem Kopf zu lösen. Andererseits wurde dadurch der Würfel auch für mich wieder interessant, denn ich wollte diesmal gerade nicht zum Rezept greifen und lieber mal schauen, ob ich das Problem inzwischen selber lösen kann. Mir war weniger wichtig, ein weiteres System zu "erfinden", sondern ich wollte das Problem diesmal auf etwas andere Art angehen. Ich dachte mir, dass es vielleicht einige wenige Zugfolgen gibt, die i) sehr einfach und schnell erlernbar sind (denn diesmal will ich sie nicht vergessen) und ii) deren geschickte Kombination das Puzzle lösen. Zu meiner Überraschung stellte ich fest, dass zwei einfache Zugfolgen ausreichen. Das damit konstruierte System hat auch weniger Rezeptcharakter, sondern muss kreativ angewandt werden. Dabei wird, so wie von Herr Rubik einst versprochen, auch das räumliche Vorstellungsvermögen gefordert und das Lösen des Problems macht wieder richtig Spaß!

Gängige Systeme zum Lösen des Würfelproblems sind ausgereift und gut dokumentiert. Die beiden Extreme sind dabei

  1. Anleitungen für Anfänger oder Kinder: hier wird ein Lösungsrezept, meist in Orientierung an gut erkennbaren Mustern angewandt mit dem Ziel, auch ungeübten Würflern ein Erfolgserlebnis zu verschaffen (zum Beispiel ein System für den Schulunterricht).
  2. Anleitungen für Fortgeschrittene: hier wird ein Lösungsrezept, das auf Geschwindigkeit und Minimierung der nötigen Züge abzielt, verfolgt. Die vielen Zugfolgen (es können einige hundert sein) müssen trainiert werden und das ganze hat einen sehr sportlichen Charakter.
Das hier beschriebene System soll Würfler ansprechen, die keine Lust (mehr) haben, ein geradliniges Lösungsrezept zu verfolgen und keine Zeit haben, sich mit Profisystemen auseinander zu setzen. Sie werden das Würfelproblem nicht in Rekordzeit und mit ausgeklügelten Zugfolgen lösen und sie müssen vor jedem Lösungsschritt etwas nachdenken. Sie lösen den Würfel elegant (mit der Kombination zweier einfacher Zugfolgen) und kreativ, denn Sie treffen viele Entscheidungen, die nicht als Rezept dokumentiert sind. Darüber hinaus ist es, wenn man alle mit "Optimierung" gekennzeichneten Stellen weg lässt, die kürzeste dokumentierte Anleitung zur Lösung des Würfels die ich kenne! (Falls Sie eine kürzere kennen wäre ich für einen Hinweis dankbar.)

Im Standardwerk zum Würfel (D. Singmaster: Notes on Rubik's Magic Cube, 1981, S.25 ff.) findet sich ein vergleichbarer Ansatz. Um ihn anzuwenden muss man sich jedoch durch einige Kapitel Würfeltheorie arbeiten und der Autor erklärt nicht im Detail die Anwendung seiner Lösung, sondern überlässt das dem Leser.

Übrigens, aus technischer Sicht ist der Würfel, der ja den Beinamen "magisch" trägt, nun endgültig entzaubert. Eine Gruppe von Forschern hat dafür sämtliche Stellungen auf Computerclustern durchforstet, unter anderem um zu beweisen, dass es keine Würfelstellung gibt, die mehr als 20 Züge zur Lösung braucht (siehe God's number).

Theorie


Notation von Prozessen

Ein Prozess ist die Abfolge von Zügen mit einer erwünschten Wirkung. Dieser Artikel nutzt die deutsche Notation für Züge, um Prozesse zu definieren. Halten Sie den Würfel vor sich, dann beschreibt R eine Drehung der rechten Außenscheibe im Uhrzeigersinn (so als wollten Sie ein Gurkenglas zudrehen). Analog gilt:

Kürzel Bedeutung
R Drehung der rechten Scheibe im Uhrzeigersinn
L Drehung der linken Scheibe im Uhrzeigersinn
V Drehung der vorderen Scheibe im Uhrzeigersinn
H Drehung der hinteren Scheibe im Uhrzeigersinn
O Drehung der oberen Scheibe im Uhrzeigersinn
U Drehung der unteren Scheibe im Uhrzeigersinn

Ein "Dash" bezeichnet eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, zum Beispiel R'. Drehungen der Mittelscheiben wird mit Xs gekennzeichnet (s von "Sandwich"), so meint Rs eine Drehung der Mittelscheibe neben der rechten Scheibe im Uhrzeigersinn.

Die Mehrfachausführung eines Zuges wird durch eine Potenz symbolisiert. So bedeutet R2 die zweifache Ausführung von R, oder auch R3 = R'. Für die Mehrfachausführung von Zugfolgen nutzt man Klammerungen und schreibt dann zum Beispiel (R O)2. Wichtige Prozesse verdienen ein eigenes Symbol, zum Beispiel Z = O R O' R'.

Die Wirkung von Prozessen

Die Wirkung von Prozessen kann auf unterschiedliche Weise dargestellt werden. Eine Möglichkeit ist das Durchnummerieren der Ecken und Kanten des Würfels und die Notation der Permutation der Ecken und Kanten. Mehr Freude macht die grafische Veranschaulichung, indem man zum Beispiel den Platzwechsel der Ecken und Kanten des Würfels darstellt.

Nehmen wir beispielsweise den schon erwähnten Prozess Z = O R O' R'. Dieser Prozess vertauscht zwei Paare von Ecken, symbolisiert durch die beiden blauen Kurven:

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Der Prozess Z macht noch mehr, er dreht Ecken und er vertauscht und dreht Kanten (was die Grafik aber nicht darzustellen versucht). Das Drehen von Ecken wird mit den Symbolen "+" und "-" für Drehungen im mathematisch positiven respektive negativen Sinn gekennzeichnet. Für Kanten reicht ein "+", da diese nur einfach verdreht ("gekippt") sein können. Wendet man den Prozess Z zweimal an, so sollten die Ecken wieder an ihren Plätzen sein, aber sie sind verdreht. Hier also die Wirkung von Z2 = (O R O' R')2:

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Wieder wird die Wirkung auf die Kanten im Bild ignoriert.

Konjugationen

Variationen der Wirkung eines Prozesses lassen sich durch Konjugationen erzielen. Dazu bewegt man zunächst die Ecken oder Kanten auf die der Prozess wirken soll an die Stellen, die der Prozess beeinflusst, anschließend führt man diese Züge "rückwärts" aus. Bleiben wir beim Prozess Z. Dreht man zunächst die vordere Scheibe im Uhrzeigersinn, so bewegt man die beiden oberen, vorderen Ecken an Positionen, die von Z erfasst werden. Am Ende dreht man wieder zurück. Der Prozess V Z V' ist dann eine Konjugation von Z und hat diese Wirkung:

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Durch Konjugationen von Z ließen sich dann alle paarweise Vertauschungen von Ecken am Würfel realisieren. Ebenso können mit Konjugationen von Z2 paarweise Drehungen an beliebigen Ecken des Würfels erzeugen. Im nächsten Abschnitt zeige ich, wie man mit Z und einem weiteren Prozess das Würfelproblem komplett löst.

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