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Raktengrundgleichung
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Die relativistische Raketengrundgleichung


Es wird die relativistische Raketengrundgleichung (RRG) hergeleitet. Beschleunigen und Bremsen erfolgt mit Teilchen der Ruhemasse 0, zum Beispiel mit Licht. Die Rakete habe einen Antrieb, der Masse verlustfrei in Energie für den Antriebsimpuls wandeln kann.

Aus der Sicht eines ruhenden Beobachters gilt für die Impulsbilanz einer Rakete

Der Impuls einer relativistischen Rakete ist

m ist dabei die vom ruhenden Beobachter aus gemessene momentane Ruhemasse der beobachteten Rakete. Die Rakete ist mit einem Photonentriebwerk ausgestattet, der Impuls eines Lichtstrahls ist

Bei Beschleunigung (die Richtung des Lichtstrahls ist entgegengesetzt zur Geschwindigkeit der Rakete) gilt damit

Beim Bremsen ist die Richtung des Lichtstrahls in Richtung der Geschwindigkeit der Rakete, also

Das sind vier Gleichungen, eine für die Energiebilanz und drei für die Impulsbilanz. Sind p und v kolinear (zum Beispiel nur in x-Richtung) kann man nach dp umstellen und erhält mit

die Lösung für das Beschleunigen

und das Bremsen

Mit

lässt sich das in eine andere Form der RRG umformen, die häufiger zu finden ist. Für Beschleunigung gilt

und für Bremsen

Gilt beim Beschleunigen vstart = 0 und beim Bremsen vend = 0 vereinfacht sich die RRG weiter. Nimmt man massebehaftete Teilchen als Antrieb, so geht noch deren Ausstoßgeschwindigkeit in die Formel der RRG ein (siehe zum Beispiel Relativistische Rakete).

Eine relativistische Reise


Am Beispiel einer Reise mit v = 0.9 c und Rückkehr ohne Tanken soll der Energiebedarf ermittelt werden. Es muss zweimal beschleunigt (von 0 auf 0.9 c) und verzögert (von 0.9 c auf 0) werden:

Die Rakete muss also so konstruiert sein, dass sie in der Lage ist 99.7 Prozent ihrer Masse zu "verbrennen". Die benötigte Energie für diese Reise mit 1000 Tonnen Treibstoff ist dann:

Zum Vergleich: der aktuelle Weltenergiebedarf der gesamten Menschheit ist 10^18 Joule. Für diese Expedition muss also 10000 Jahre lang der heutige Energiebedarf gesammelt werden. Das Raumschiff muss wirklich durchdacht konstruiert sein, denn es bleiben nur etwa 3 Tonnen für die Struktur des Raumschiffs, Lebenserhaltung, Energiespeicher und Antrieb übrig. Die Reise zum nächsten Nachbarstern würde aber in 2 Mal 4.71 Jahren machbar sein. Die Crew altert in dieser Zeit auch nur um 2 mal 2.05 Jahre.

Bevor eine solche Expedition Wirklichkeit werden kann gilt:

Für keines dieser Probleme ist mittelfristig eine Lösung in Sicht und wir sollten uns also noch ein wenig gedulden.
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