Einleitung
Zwillingsparadoxon
Uhrenparadoxon
Raktengrundgleichung
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Das Uhrenparadoxon


Zwei gleichförmig gegeneinander bewegte Bezugssysteme beurteilen symmetrisch, dass die Zeit des jeweils anderen langsamer vergeht. Paradox ist dabei, dass wir daraus folgern a < b UND b < a. Mit dem gleichen Vorgehen wie im Abschnitt Zwillingsparadoxon wird das Pradoxon aufgelöst: es werden die Eigenzeiten zweier Uhren in zwei gleichförmig bewegten Koordinatensystemen berechnet und verglichen.

Die Lorentztransformation


Das Zwillingsparadoxon im letzten Abschnitt haben wir mit einer Transformation durchgerechnet, die die Reise eines Zwillings beschreibt. Was passiert, wenn wir nun als Transformation eine Lorentztransformation nutzen. Muss sich dann nicht klären lassen, welche Uhr die "richtige" Zeit anzeigt?

Der Uhr U1 teilen wir die ungestrichenen Koordinaten eines Inertialsystems IS1 zu. Zur Uhr U2 gehören die gestrichenen Koordinaten. Für eine Lorentztransformation gilt:

und somit

Das Wegelement in ungestrichenen und gestrichenen Koordinaten lautet nun

Durch die spezielle Wahl der Transformation gibt es keine Zusatzterme im Wegelement und die gestrichenen Koordinaten sind offenbar ebenfalls die Koordinaten eines Inertialsystems IS2, physikalische Gesetze behalten in IS2 ihre (einfache) Form.

Die Uhr U1 ruht in IS1 und ihre Weltlinie von A nach B ist ein Pfad entlang der Kurve

Aus Sicht eines Beobachter im IS1 bewegen sich die Koordinaten im IS2 mit der konstanten Geschwindigkeit v.

Symmetrisch dazu ruht die Uhr U2 in IS2 und ihre Weltlinie von A' nach B' ist ein Pfad entlang der Kurve

Aus Sicht eines Beobachter im IS2 bewegen sich die Koordinaten im IS1 mit der konstanten Geschwindigkeit -v.

Die Startpunkte (A und A') und die Endpunkte (B und B') der Wegintegration können wir nicht wie im letzten Abschnitt einfach gleichsetzen, da Lorentztransformation auch Zeitintervalle transformieren und damit auch potenziell die Intervallgrenzen der Integration.

Rechnungen im IS1


Für die Uhr U1 gilt

Die Uhr U2 bewegt sich aus Sicht von U1 und ihre Eigenzeit ist

Rechnungen im IS2


Im IS2 sind alle Rechnungen "symmetrisch" da sich für die gestrichenen Koordinaten das Wegelement nicht verändert und wir erhalten:

und

Hier wird das Uhrenparadoxon sichtbar, denn wechselseitig scheint zu gelten: a < b UND b < a.

Die Auflösung des Uhrenparadoxons ergibt sich, wenn die Start- und Endpunkte der Wegintegration richtig berücksichtigt werden. Das wird in den Wegintegralen schon angedeutet, indem die Intervallgrenzen mit den entsprechenden Uhren indexiert werden. Es wird zunächst willkürlich für den Pfad U1 in den ungestrichenen Koordinaten angenommen

Der Pfad von U2 soll ja ebenfalls von t' = 0 bis t' = T gehen (mit x' = 0). In ungestrichenen Koordinaten findet man dann durch Einsetzen in die Lorentztransformation für die Intervallgrenzen:

In gleicher Weise gilt mit

und

Nun wird klar, dass jedes der vier Wegintegrale den gleichen Wert T ergibt. Aus einem a < b UND b < a wird ein a = b UND b = a!

Zusammenfassung


Eine Lorentztransformation ist eine Koordinatentransformation mit diesen Eigenschaften:

  1. Die transformierten Koordinaten bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit gegenüber den nicht transformierten.
  2. Das Wegelement hat nicht seine Form geändert, die Lorentztransformation vermittelt von einem Inertialsystem in eine anderes.
  3. Sie ist linear, isotrop und homogen.
Wie bei jeder Koordinatentransformation zeigt sich, dass die Eigenzeiten der Uhren U1 und U2 unbängig von den gewählten Koordinaten sind. Vergleicht man die Eigenzeiten von U1 und U2 in einem IS unter Berücksichtigung der Transformation der Intervallgrenzen des Wegintegrals, so erhält man für beide Uhren das gleiche Ergebnis. Aus Sicht eines im IS1 ruhenden Beobachters geht zwar eine Uhr in IS2 langsamer, die Intervallgrenzen für die Ermittlung der Eigenzeit einer mit dem IS2 mitbewegten Uhr müssen aber angepasst werden, wenn der für U1 benutzte Integrationspfad beibehalten werden soll. Damit haben die ruhenden Uhren aller Inertialsysteme aus Sicht aller anderen Inertialsysteme immer die gleiche Eigenzeit, auch wenn die Uhren der jeweils bewegten Inertialsysteme langsamer gehen.

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem steckt übrigens im Wegelement ds^2. Da es durch Lorentztransformationen forminvariant bleibt, bleiben es auch die Quotienten c = dx/dt. Was also in einem Inertialsystem als Lichtgeschwindigkeit gemessen wird, wird es auch in allen anderen Inertialsystemen.

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