Einleitung
Zwillingsparadoxon
Uhrenparadoxon
Raktengrundgleichung
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Das Zwillingsparadoxon


Zwillinge synchronisieren ihre Uhren, dann verreist der eine zu anderen Sternen und kehrt irgendwann zu seinem ruhenden Geschwister zurück. Die Uhr des verreisten Zwillings geht nach, er ist langsamer gealtert. Diese Verlangsamung kann, je nachdem wie die Reise geplant ist, dramatische Ausmaße annehmen - der ruhende Zwilling ist Jahrzehnte älter als der reisende Zwilling - und unser Menschenverstand wehrt sich gegen eine solche Erfahrung. Der Film Interstellar thematisiert das eindrucksvoll und episch (allerdings entsteht die Zeitdilatation dort durch einen Aufenthalt in starker Gravitation und ist damit nicht mit der SRT berechenbar).

Nehmen wir an, die Triebwerke des Raumschiffs des reisenden Zwillings (Z2, gestrichene Koordinaten) lassen sich so einstellen, dass die Reise aus Sicht des ruhenden Zwillings (Z1, ungestrichene Koordinaten) so parametrisierbar ist:

und damit

Wir wählen f(t') so, dass die Reise beim ruhenden Zwilling endet, so dass am Ende die Zeiten der Zwillinge direkt verglichen werden können. Das Paradoxon löst sich auf, wenn wir die Eigenzeiten von Z1 und Z2 aus Sicht ihrer jeweiligen Koordinatensysteme berechnen und vergleichen. Für die Berechnung der Eigenzeiten von Z1 und Z2 müssen zwei verschiedene Pfade (Weltlinien) aufintegriert werden. Entlang des Pfads in dem Z1 ruht gilt

und entlang des Pfads in dem Z2 ruht gilt entsprechend

Rechnungen im Inertialsystem von Z1


Der Zwilling Z1 ruht, seine Koordinaten sind die eines Inertialsystems der SRT. Die Eigenzeiten von Z1 und Z2 lassen sich aus den Grundgleichungen der SRT über eine Aufsummierung des Wegelements

berechnen. Für den ruhenden Zwilling Z1 ergibt das

Für Z2 nutzen wir das gleiche Wegelement, summieren aber dieses Mal entlang des Pfades, in dem Z2 ruht und erhalten das wohlvertraute Ergebnis:

Die Zeit vergeht für Z2 langsamer.

Rechnungen im beschleunigten Koordinatensystem von Z2


Im Koordinatensystem des reisenden Zwillings ist das Wegelement ds' komplizierter, denn Aufgrund der Koordinatentransfomation, die die Reise des Zwillings beschreibt, kommt es zu "gemischten" Termen und es gilt nun

Summieren wir entlang des Pfades von Z2 dieses Wegelement erhalten wir

Die zusätzlichen Terme im Wegelement sorgen dafür, dass auch entlang des Pfades von Z2 nun die Zeit langsamer vergeht. Wir haben mit dem Wegelement ds' eine Metrik eingeführt, mit der ein Pfad in dem Z2 ruht nicht mehr der "längste mögliche" ist. Der längste Pfad führt nun entlang der Weltlinie des ruhenden Zwillings Z1:

Aus Sicht von Z2 vergeht also die Zeit von Z1 schneller als die von Z2 gemessene Zeit. Entlang der Weltlinie von Z1 heben sich exakt die Zusatzterme der angepassten Metrik in den beschleunigten Koordinaten von Z2 auf.

Zusammenfassung


Unabhängig von den Details der Reise f eines reisenden Zwillings gilt: das Integral des Wegelements ds für den bewegten Zwilling ist

und damit kleiner als das Integral von ds eines ruhenden Beobachters, die Zeit des reisenden Zwillings vergeht langsamer. Was unterscheidet nun den bewegten Zwilling von seinem ruhenden Geschwister? Man könnte ja argumentieren, dass zu jedem beliebigen Moment der Reise der bewegte Zwilling ruht und aus seiner Sicht der ruhende Zwilling sich bewegt. Antwort: Der Pfad des bewegten Zwilling verläuft nicht entlang einer Kurve, die das Integral über das Wegelement ds maximiert. Es geht also nicht um den Moment einer Reise sondern um die Art und Weise ihres Verlaufs. Auf diese Weise bekommen die Begriffe "ruhender Zwilling" und "bewegter Zwilling" eine Definition und lassen sich objektiv unterscheiden.

Wir haben die Eigenzeiten für den ruhenden und bewegten Zwilling in zwei verschiedenen Koordinatensystemen berechnet und jeweils das gleiche Resultat erhalten. Das eine war insofern ausgezeichnet, dass es im Bezugssystem des ruhenden Zwillings ein einfaches Wegelement

besitzt. In diesem nehmen die Gesetze der SRT eine besonders einfache Form an und die Koordinaten ruhender Beobachter werden deshalb Inertialsysteme genannt. Das andere Koordinatensystem wurde durch eine Koordinatentransformation aus diesem Inertialsystem gewonnen. Alle Ergebnisse bleiben unverändert, da Wegintegrale unabhängig von den gewählten Koordinaten sind. Die Koordinatentransformation beinhaltet dabei insbesondere auch eine Anpassung des Wegelements. Aus rein praktischen Erwägungen wurde die Koordinatentransformation gerade so gewählt, dass der bewegte Zwilling in diesen Koordinaten ruht.

genutztes Koordinatensystem => Inertialsystem IS transformierte Koordinaten KS
Berechnung der Eigenzeit des ruhenden Zwillings
(Pfad in dem Z1 ruht)
Zusätzliche "gemischte" Terme im Wegelement und Pfad Z1 (aus Sicht von Z2 bewegt) heben gerade einander auf:
Berechnung der Eigenzeit des bewegten Zwillings
(Pfad in dem Z2 ruht)
Der Pfad Z2 maximiert nicht das Integral des Wegelements:
Zusätzliche "gemischte" Terme im Wegelement obwohl Z2 in diesen Koordinaten unbewegt ist:

Große (und dramatische) Unterschiede in den Eigenzeiten der Zwillinge lassen sich erreichen durch möglichst hohe Reisegeschwindigkeiten und möglichst lange Reisen. Interessanterweise spielen Details der Beschleunigung keine Rolle, insbesondere könnte man für Anfang und Ende der Reise und am Umkehrpunkt kurzzeitig extrem große Beschleunigungen annehmen. Bei Geschwindigkeiten v > c funktioniert das Wegintegral nicht mehr. Die SRT ist dennoch konsistent, da die Bewegungsgleichungen der SRT solche Geschwindigkeiten für massenbehaftete Körper ausschließen.

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